新冠大流行給世界帶來了巨大的改變，全球科學家和研究人員在研制有效的疫苗。他們正在做的就是從廣闊的樣本空間中近似地收緊可能性范圍，并盡力得到一些有效解。近似在我們的生活中發揮了重要作用。

以在線食品配送為例，我們經常從網上訂購食物，享受快速送達的服務。但你想過這些 app 后端運行的什么算法讓快遞員在更短時間內抵達目的地嗎？答案是近似算法。這類問題就是「旅行商問題」。

食品配送：旅行商問題的現實應用。

本文將介紹近似算法及其對某些標準問題的適用性，以及哪些因素會影響到特定算法的選擇。

什么是近似算法？

近似算法是一種處理優化問題 NP 完全性的方式，它無法確保最優解。近似算法的目標是在多項式時間內盡可能地接近最優值。

它雖然無法給出精確最優解，但可以將問題收斂到最終解的近似值。其目標滿足以下三個關鍵特性：

能夠在多項式時間內高效運行；

能夠給出最優解；

對于每個問題實例均有效。

背景

數學表達式的評估常伴隨常量、變量分析和方程的階，可用于衡量近似的復雜度。此類評估將問題分解為 P 和 NP 難問題。

P 問題和 NP 問題的策略

P 問題是指可以在多項式時間內求解的問題。

NP 表示不確定性多項式時間（nondeterministic polynomial time），NP 問題是指在多項式時間內近似驗證答案的問題。但目前人們發現，很多此類問題需要指數時間才能求解。

P 和 NP 策略。

真正的爭論在于 P=NP 還是 P≠NP。之前的一些研究證明這兩種都是對的。如果一個問題是多項式次方，則存在多個最優算法。因此，在 NP 完全問題中，存在兩種方法找到近優解，然后選擇最適合的算法。

如果輸入的大小比較小，則具備指數運行時間的算法可能會比較適合。

其次，通過用近似算法替代確定性算法，我們仍然能夠在多項式時間內找到近優解。

近似算法的復雜度可以從輸入大小和近似因子中推斷出來。接下來，我們通過一些示例，深入探索這些算法如何應用到現實問題中。

分區問題（Partition Problem）

在計算機科學領域，該問題的定義是：給定多重正整數集 X，它可以被分割為兩個元素之和相等的子集 X1 和 X2，即每個子集的數值之和與另一個子集相等。

例如，X={3,4,1,3,3,2,3,2,1} 可以被分割為 X1={3,3,2,3} 和 X2={4,2,3,1,1}，二者的數值之和都是 11。

類似地，X={1,3,1,2,1,2} 可以被分成 X1={2,1,1,1} 和 X2={3,2}，兩個子集的數值之和都是 5。有趣的是，這不是唯一解。X1={1,3,1} 和 X2={2,1,2} 的數值之和也為 5，這表明存在多個可能的子集。

這就是 NP 完全問題，存在偽多項式時間動態規劃解，可獲得該問題的近優解。

方法和決定步驟

現在，我們開始分析這個問題，把它分解成數個單獨的標準問題。這里，我們想要找出多重集的元素之和相等的子集，那么該問題就可以分解成以下兩個問題：

子集和問題：子集 X 的元素之和等于數字 W。

多路數字分割：給定整數參數 W，確定如何將 X 分割成 W 個等額子集。

近似算法

如上所述，將分區問題分解為多路分割與子集和問題后，我們就可以考慮為這些問題而開發的算法，包括：

貪婪數字分割（Greedy number Partitioning）

該算法循環遍歷所有數字，將每個數字分配給總和最小的子集。如果數字未以排序方式排列，則其運行時復雜度為 O(n)，近似率約為 3/2。其 Python 偽代碼如下：

def find_partition(numbers): """Separate the available numbers into two eqal sum series.

Args: numbers: collection of numbers, for example list of integers.

Returns: Two lists of numbers. """ X = [] Y = [] sum_X = 0 sum_Y = 0 for n in sorted(numbers, reverse=True): if sum_X < sum_Y: X.append(n) sum_X = sum_X + n else: Y.append(n) sum_Y = sum_Y + n return (X, Y)

將數字排序，則運行時復雜度增加到 O(n logn)，近似率增加到 7/6。如果數字在 [0,1] 范圍內均勻分布，則近似率約為 1 + O(log logn/n)。

分區問題圖示。

上圖用二叉樹的形式展示所有分區。樹的根部表示集合中的最大數，每一級對應輸入數字，每個獨立分支對應不同的子集。遍歷這些集合需要深度優先遍歷（depth-first traversal），所需的空間復雜度為 O(n)，時間復雜度為 O(2^n)。

適用性：

該算法可以根據情況進行修改，以便改善運行時復雜度。每一級的首要目標是構建一個分支，將當前數字分配給總和最小的子集。首先通過貪婪數字分割找出總和，然后切換到優化，得到全多項式時間近似解。

Karmarkar-Karp 算法

Karmarkar-Karp 算法指以降序方式排列數字的最大差分方法，該方法將差值替換掉原來的數字不斷放進集合中。其 Java 偽代碼實現如下：

int karmarkarKarpPartition(int[] baseArr) { // create max heap PriorityQueue heap = new PriorityQueue(baseArr.length, REVERSE_INT_CMP);

for (int value : baseArr) { heap.add(value); }

while (heap.size() > 1) { int val1 = heap.poll(); int val2 = heap.poll(); heap.add(val1 - val2); }

return heap.poll();}

該算法包含輸入集 S 和參數 k。將 S 分割成 k 個子集，使這些子集中的數字總和相等，從而構建期望輸出。該算法包含如下關鍵步驟：

以降序方式排列數字；

用差值替換掉原來的數字，直到只有一個數字；

采用回溯算法，完成分區。

適用性：

該算法通過構建二叉樹來假設分區。每一級表示一對數字，左側的分支表示用差值替換數字，右側的分支表示將差值放置在同一個子集中。該算法先通過最大差分求得解，然后繼續尋找更好的近似解。它所需的空間復雜度為 O(n)，但最糟糕的情況下所需的時間復雜度可能會達到 O(2^n)。

裝箱問題

裝箱問題有多種現實應用。例如，如何從根本上改善印度的垃圾管理系統。這個問題就可以通過裝箱問題來解決，幫助當局決定 x 量的垃圾需要多少個垃圾箱。

集裝箱船：裝箱問題的現實應用。

在計算機科學領域中，該問題可用于多種內存管理技術。在該算法中，我們可以通過去除冗余和最小化空間浪費來包裝不同形狀和大小的對象。

例如：給定一個包含 n 個項的集合，每個項的大小分別為 s1,s2,..,sn (0

經典方法：

1. 鄰近適應算法 (Next Fit)：查看當前項是否適合當前箱子。如果適合，則將物品放置在箱子里，否則開啟一個新的箱子。

我們來看一個示例：項是 0.5, 0.7, 0.5, 0.2, 0.4, 0.2, 0.5, 0.1, 0.6，箱子大小均為 1。

基于鄰近適應算法的裝箱解決方案（M = 箱子總數 = 6）。

2. 最先匹配法 (First Fit)：按順序瀏覽箱子，在第一個箱中放置新的項，直到放不下再啟用新的箱子。

我們來看一個示例：項是 0.5, 0.7, 0.5, 0.2, 0.4, 0.2, 0.5, 0.1, 0.6，箱子的大小均為 1。

基于最先匹配法的裝箱解決方案（M = 箱子總數 = 5）。

3. 最優匹配法 (Best Fit)：按順序瀏覽箱子，將每一個新的項放在最適合的箱子里。如果不適合，則創建一個新的箱子。

我們來看一個示例：項是 0.5, 0.7, 0.5, 0.2, 0.4, 0.2, 0.5, 0.1, 0.6，箱子的大小均為 1。

基于最優匹配法的裝箱解決方案（M = 箱子總數 = 5）。

該方法的輸出與最先匹配法相同，但該方法的優點是實現速度比 FFD 快，即時間復雜度為 O(nlogn)。

自然方法：

如果我們提前知道所有項的大小，那么自然的解決方案就是首先按照從大到小排序，然后應用以下啟發式方法：

最先匹配遞減法

最優匹配遞減法

假設有相同的示例 0.7, 0.6, 0.5, 0.5, 0.5, 0.4, 0.2, 0.2, 0.1，則排序為 0.7, 0.6, 0.5, 0.5, 0.5, 0.4, 0.2, 0.2, 0.1。

優化方法（M = 箱子總數 = 4）。