隨著量子計算機的出現給計算機領域帶來了許多突破性進展。在量子計算機上運行的卷積神經網絡也因其比經典計算機更好地分析量子數據的潛力而引起諸多關注。量子神經網絡(QNN)被認為是最有前途的架構之一，其應用包括物理模擬、優化等。

盡管 QNN 具有巨大的潛力，但許多 QNN 架構已被證明會出現「貧瘠高原」現象，其中代價函數的梯度隨系統大小呈指數級消失，使得 QNN 架構無法針對大型問題進行訓練。

近日，來自美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室(LANL)和倫敦大學的研究人員構建了一個不存在貧瘠高原的特定 QNN 架構。該研究的論文《Absence of Barren Plateaus in Quantum Convolutional Neural Networks》在《PHYSICAL REVIEW X》上發表。

論文地址：https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.11.041011

近來一些研究者提出了量子卷積神經網絡(QCNN)架構，洛斯阿拉莫斯國家實驗室(LANL)和倫敦大學的這項研究嚴格分析了 QCNN 架構中參數的梯度縮放。該研究發現梯度的方差消失的速度并沒有比多項式更快，這意味著 QCNN 沒有出現貧瘠高原現象。該結果為隨機初始化的 QCNN 的可訓練性提供了分析保證，這突出了 QCNN 與許多其他 QNN 架構的不同，即在隨機初始化下可訓練。

避免梯度消失問題

該研究為了得出其分析結果，提出了一種基于圖的新方法來分析 Haar 分布式 unitary 的期望值，這可能是一種極為有效的方法。最后，該研究用數值模擬驗證了其分析結果。

QCNN 架構

QCNN 架構涉及一系列卷積層和池化層，這些層減少了量子比特的數量，同時保留了有關數據特征的信息。

如下圖 1 所示，QCNN 架構將 Hilbert 空間 H_in 中的 n-qubit 輸入狀態 ρ_in 作為輸入，該狀態通過由一系列卷積層和池化層組成的電路發送。卷積層由兩行參數化的雙量子比特門組成，作用于相鄰量子比特的 alternating 對。在每個池化層中，測量一半的量子比特，測量結果控制應用于相鄰量子比特的 unitary。在 L 個卷積層和池化層之后，QCNN 中還包含一個全連接層，該層對剩余的量子比特應用 unitary。最后測量一些 Hermitian 算子 O 的期望值。

QCNN 架構示意圖

該研究將 QCNN 的輸入狀態映射到 Hilbert 空間中的一個縮減狀態，其中 H_out 的維度遠小于 H_in 的維度。輸出狀態可以表示為：

其中，V(θ)是包含卷積層和池化層以及全連接層中的門的 unitary，θ 是可訓練參數的向量，表示除 H_out 中以外的所有量子比特的偏跡數(partial trace)。請注意，QCNN 中的非線性源于池化層中的池化算子，這有效地降低了每一層的自由度。 

代價函數

QCNN 的目標是應用一個訓練集 S(S 的大小 M=|S|)，包含輸入狀態來優化 QCNN 中的參數，并最小化代價函數，代價函數可表示為

其中 c_α是實系數，是從如下等式 (1) 中獲得的，每個輸入狀態為ρ_in。 

Ansatz

為了簡單起見，該研究主要考慮兩種情況：n=2^k 和 L=log(n)=k，這樣 dim(H_out)=2。此外，該研究假設卷積層和池化層中的 unitary 是獨立的。也就是說，V(θ) 中的卷積層和全連接層由作用于相鄰量子比特的兩個量子比特參數化 unitary 塊組成，表示為。 

研究者注意到，這種泛化包含作為特殊情況的常見 QCNN 結構，其中同一卷積或池化層中的塊是相同的。此外，研究者在論文的結果部分討論得出：卷積層中的 unitary 相關性往往會增加代價函數的梯度幅值。

如上等式 (13) 所示，由于代價函數偏導數的方差獨立于 I_ij 中的受控 unitary，因此可以將池化層中算子 I_ij 的作用附到卷積層中 unitary 的作用上。因此，QCNN 的張量網絡表征如下圖 2 所示。

QCNN 的張量網絡表征

此外，該研究還提出了一種分析方差縮放的新方法，稱為 GRIM。

QCNN 架構的 GRIM 模塊

這項研究有什么意義?

作為一種人工智能方法，QCNN 受到視覺皮層的啟發，因此涉及一系列的卷積層與池化層，在保持數據集重要特征的同時降低了數據的維度。這些神經網絡可用于解決一系列問題，從圖像識別到材料發現。克服貧瘠高原是挖掘量子計算機在人工智能應用中的全部潛力并展示其優于經典計算機的關鍵。

Marco Cerezo(論文合著者之一)說，到目前為止，量子機器學習的研究人員分析了如何減輕貧瘠高原的影響，但他們缺乏完全避免它的理論基礎。LANL 的工作展示了一些量子神經網絡實際上不受貧瘠高原的影響。

「有了這個保證，研究人員現在將能夠篩選關于量子系統的量子計算機數據，并將這些信息用于研究材料特性或發現新材料等方面。」LANL 的量子物理學家 Patrick Coles 說。

40 多年來，物理學家一直認為量子計算機將被證明可用于模擬和理解粒子的量子系統，這會扼殺傳統的經典計算機。LANL 研究證明穩健的量子卷積神經網絡類型有望在分析量子模擬數據方面獲得應用。

「關于激光有一句名言，當它們第一次被發現時，人們說它們是尋找問題的解決方案。現在到處都在使用激光。同樣，我們中的許多人懷疑量子數據能否變得高度可用，可能意味著量子機器學習也會起飛。」Coles 說道。

參考鏈接：https://discover.lanl.gov/news/releases/1015-quantum-ai

【本文是51CTO專欄機構“機器之心”的原創譯文，微信公眾號“機器之心( id: almosthuman2014)”】  

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