AI，已成為菲爾茲獎得主最得心應手的工具。

大約三周前，陶哲軒提出了一個協作項目——

結合專業和業余數學家、自動定理證明器、AI工具，以及證明輔助語言Lean，來描述與4694條幺半群（magmas）方程定理定理相關的蘊含圖。

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這些定理最多可以使用，四次幺半群運算來表達。

也就是說，需要確定4694條定理之間可能存在4694 * (4694 - 1) = 22028942蘊含的關系真偽。

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地址：https://github.com/teorth/equational_theories/blob/main/data/equations.txt

這一項目在9月25日發布當天便啟動了，如今，已經緊鑼密鼓進行了19天。

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剛剛，陶哲軒公布了項目的最新進展：

從已解決原始蘊含關系角度來看，截至目前，項目進度已完成99.9963%。

在需要解決的22028942個蘊含關系中，8178279個被證明為真，13854531個被證明為假，只有826個仍未解決。

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而且，項目每一天的進展，他都記錄到了個人日志中。

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一起看看，陶哲軒如何通過「眾包方式」，探索數學新領域。

方程理論項目，進度99.99%

在集合中，有249個蘊含關系推測為假，并且很快就證明了是假的。

出于編譯效率的考量，他們并沒有在Lean中記錄每一個證明，只在其中證明了一個較小的592790個蘊含關系集合，然后通過傳遞性推導出更廣泛的蘊含關系集合。

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例如，利用如果方程X蘊含方程Y，方程Y蘊含方程Z，那么方程X蘊含方程Z的事實。

他們還很快利用蘊含圖對偶對稱性，對其進一步簡化。

經過項目志愿者的不懈努力，陶哲軒稱現在有了很多出色的可視化工具（尚未完成的），來檢查蘊含圖的各個部分。

比如，如下這張圖描述了方程1491：x = (y ◇ x) ◇ (y ◇ (y ◇ x ))的所有結果。

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陶哲軒將其稱之為「Obelix law」。它還有一個伙伴Asterix law，即方程65：x = y ◇ (x ◇ (y ◇ x ))。

如下是，他們正在研究的所有方程定理的表格，以及它們蘊含/被蘊含定理數量。

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地址：https://teorth.github.io/equational_theories/implications/

這些界面也在某種程度上與Lean集成。

比如，我們可以點擊查看Obelix law蘊含方程359，陶哲軒將其作為題目，讓大家進行挑戰。他暗示，在Lean中僅用4行就可以完成證明。

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在過去的幾周里，他還了解到這些定理中，有許多之前已經出現在文獻中。

由此，這里編制了這些方程的「導覽」。

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地址：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Tour-of-selected-equations

例如，除了眾所周知的交換律（方程43）、結合律（方程4512）之外，一些方程（方程14、方程29、方程381、方程3722、方程3744）曾出現在一些Putnam數學競賽中；

方程168定義了一個引人入勝的結構，被稱為「中心幺半群」（central groupoid）。特別是，由Evans和Knuth研究過，并且是Knuth-Bendix完成算法的關鍵靈感來源；

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而方程1571則對指數為二的阿貝爾群（abelian groups）進行了分類。

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根據Birkhoff完備性定理，如果一個方程定理蘊含另一個，那么它可以通過有限次重寫操作來證明。

不過，所需的重寫次數可能相當長。

上面提到的1491蘊含359的證明已經相當具有挑戰性，需要四到五次重寫。

另外，方程1689蘊含方程2的證明，更是極其冗長。盡管如此，標準的自動定理證明器，如Vampire，完全有能力證明絕大多數這些蘊含關系。

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更微妙的是反蘊含關系，在這種情況下必須證明定理X不蘊含定理Y。原則上，只需要展示一個遵循X但不遵循Y的幺半群即可。

在很大一部分情況下，他們可以簡單地搜索小型有限幺半群——比如兩個、三個或四個元素的幺半群——來獲得這種反蘊含關系。

但這些并不足夠，事實上，他們只知道有些反蘊含關系，只能通過構造無限幺半群來證明。

比如，現在已知的Asterix law不蘊含Obelix law，但所有反例必然是無限的。

有趣的是，已知的構造方法與集合論中著名的forcing技術有一些相似之處，即不斷向（部分）幺半群添加「通用」元素，以forcing存在具有某些特定屬性的反例。

不過，這里的構造肯定比集合論構造簡單得多。

他們還從「線性」幺半群x ◇ y = ax + by構造中取得了有益的進展。這些構造存在于交換環和非交換環中。

與「匯聚」（confluent）方程定理相關的自由幺半群，以及更普遍的具有完整重寫系統的定理。

因此，未解決的蘊含關系數量繼續穩步減少。

遵循標準GitHub實踐，論文很快上線

經過相當繁忙的后端設置和「滅火」（putting out fires）工作后，項目現在運行得相當順利。

項目在Lean Zulip頻道上協調，所有貢獻都通過GitHub上的拉取請求（pull request）過程進行，并通過基于問題的GitHub項目進行跟蹤。

另外兩位維護者Pietro Monticone、Shreyas Srinivas為其提供了寶貴的監督。

與之前的PFR形式化項目相比，這次項目的工作流程遵循了標準的GitHub實踐，大致如下：

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如果在Zulip討論過程中，明確需要完成某些特定任務以推進項目（比如，在Lean中形式化討論線程中已經推導出的蘊含關系證明），就會創建一個「問題」（通常由陶哲軒自己或其他維護者創建），其他貢獻者可以「認領」這個問題，單獨工作（使用主GitHub倉庫的本地副本）。

然后提交「拉取請求」將他們的貢獻合并回主倉庫。這個請求隨后可以由維護者和其他貢獻者審查，如果獲得批準，就會關閉相關問題。

更廣泛地說，他們正努力記錄這個設置中的所有過程和經驗教訓。

這將成為即將發表的關于這個項目的論文的一部分，現正處于初步規劃階段，可能會包括數十位作者。

陶哲軒表示，自己對項目取得的進展非常滿意，而且許多最初的期望已經實現。

在科學方面，他們發現了一些新的技術和構造，用來證明一個給定的方程理論不蘊含另一個；他們還發現了一些具有有趣特征的奇特代數結構，如Asterix和Obelix對，是通過系統性搜索方式被發現的。

參與者方面，非常多樣化，從各個職業階段的數學家、計算機科學家，到感興趣的學生和業余愛好者。

此外，Lean平臺在整合人工生成和機器生成的貢獻方面表現良好。

機器生成在數量上是迄今為止最大的貢獻來源，但許多自動生成往往是基于人類最初在特殊情況下發現的，然后由項目的不同成員進行推廣和形式化。

在討論線程中，他們還進行了許多非正式的數學論證，但這些論證往往會迅速在Lean中形式化，消除了關于正確性的爭議就。

進而，研究人員可以轉而專注于如何最好地部署各種經過驗證的技術，來解決剩余的蘊含關系。

AI并未做出重大貢獻

原本，陶哲軒期待看到現代AI工具，能夠在項目中做出重大貢獻。

但實際上，它們以一種輔助、次要的方式被使用。

比如，通過GitHub Copilot等工具來加速編寫Lean證明、LaTeX文檔框架、其他軟件代碼。

此外，他們的幾個可視化工具，也主要是使用Claude等大模型共同編寫的。

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然而，對于解決蘊含關系這一核心任務，更「傳統」的自動定理證明器表現更好。

不過，目前剩余的大約700個蘊含關系，大多數不適合使用傳統工具來處理。

有幾個蘊含關系（特別是涉及Asterix和Obelix那些），已經讓人類專家困惑多日。

陶哲軒認為，在解決剩余的、更困難的蘊含關系時，現代AI可能會發揮更重要的作用。

參考資料：https://terrytao.wordpress.com/2024/10/12/the-equational-theories-project-a-brief-tour/