Python 時間序列預測：Hot-winters
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1. 什么是Holt-Winters
時間序列是非常常見的數據格式，以[時間，觀測值]形式表現，如下圖。
現實場景中如股票走勢圖，國家GDP歷年數據，機器cpu利用率，內存數據等都是時間序列。對未來時間的觀測值進行預測是有意義的工作，提前預知未來的數據的走勢，可以提前做出行動，如預測cpu使用率，如果cpu飆高，可以及早進行調整，避免機器負載過高而宕機，這個在AIOPS是很常見的一個應用場景。
今天要說到Holt-Winters是利用三次指數平滑來做時間序列預測的方法。Holt-Winters是綜合了1957年Holt和1960年Winters兩個人的思路的一種方法。
一次指數平滑
我們來看下，一次指數平滑如下圖：
可知，si表示第i時刻的平滑估計，si可以表示為當前實際值xi和上一時刻平滑估計值得加權組合，權重由alpha來決定。那為什么稱為指數平滑呢？我們來把式子展開，如下：
有點類似泰勒展開式的味道
alpha 屬于[0, 1], 越大表示近期的數據影響更大
二次指數平滑：加上趨勢的因素
一次指數平滑，沒有考慮時間序列的趨勢和季節性，二次指數平滑加上趨勢因素。
從公式可知，一個時間序列的時刻值分解為baseline部分和趨勢部分，t表示趨勢，可以表示為連續兩個時刻的差值；可知，ti也是一次的指數平滑。
Holt-Winters三次指數平滑：加上季節性因素
在二次指數平滑基礎上，考慮季節性因素，就是三次指數平滑，也就是Holt-Winters。由此，一個時間序列的時刻值分解為baseline部分和趨勢部分以及季節部分。由于季節性，存在周期，比如按周，按月等。pi季節性為當前季節性值和上一個周期季節性估計值的加權組合，周期在公式中以k來表示。如下：
2. Holt-Winters的實現
從第一部分可知，要實現Holt-Winters，只要知道：
• 初始值：s0，t0和p0
• 合適的參數：alpha，beta， gamma
• 套入公式即可完成預測
三個重要參數：alpha，beta， gamma都屬于[0, 1]之間，要么人為的搜索，要么通過數據來估計，通常采用L-BFGS優化算法來擬合數據。優化算法來自包scipy.optimize的fmin_l_bfgs_b。
- from __future__ import division
- from sys importexit
- from math import sqrt
- from numpy import array
- from scipy.optimize import fmin_l_bfgs_b
- # 優化算法的loss function，即判斷擬合效果，由RMSE MAE等
- def RMSE(params, *args):
- Y = args[0]
- type = args[1]
- rmse = 0
- alpha, beta, gamma = params
- m = args[2]
- a = [sum(Y[0:m]) / float(m)]
- b = [(sum(Y[m:2* m]) - sum(Y[0:m])) / m ** 2]
- if type == 'additive':
- s = [Y[i] - a[0] for i in range(m)]
- y = [a[0] + b[0] + s[0]]
- for i in range(len(Y)):
- a.append(alpha * (Y[i] - s[i]) + (1- alpha) * (a[i] + b[i]))
- b.append(beta * (a[i + 1] - a[i]) + (1- beta) * b[i])
- s.append(gamma * (Y[i] - a[i] - b[i]) + (1- gamma) * s[i])
- y.append(a[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])
- rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2for m, n in zip(Y, y[:-1])]) / len(Y))
- return rmse
- # 加性的時間序列
- def additive(x, m, fc, alpha = None, beta = None, gamma = None):
- Y = x[:]
- # 利用fmin_l_bfgs_b來估計參數alpha beta和gamma
- if(alpha == Noneor beta == Noneor gamma == None):
- initial_values = array([0.3, 0.1, 0.1])
- boundaries = [(0, 1), (0, 1), (0, 1)]
- type = 'additive'
- parameters = fmin_l_bfgs_b(RMSE, x0 = initial_values, args = (Y, type, m), bounds = boundaries, approx_grad = True)
- alpha, beta, gamma = parameters[0]
- # 初始值 a表示baseline， b表示趨勢，s表示季節性，y表示預測值， 分別取第一個周期的統計數據為初始值
- a = [sum(Y[0:m]) / float(m)]
- b = [(sum(Y[m:2* m]) - sum(Y[0:m])) / m ** 2]
- s = [Y[i] - a[0] for i in range(m)]
- y = [a[0] + b[0] + s[0]]
- rmse = 0
- # 套用上面公式，從0開始，fc表示預測的數量，如已知前7天，預測接下來的一個小時的數據，如果數據粒度是5分鐘，fc為12。
- for i in range(len(Y) + fc):
- if i == len(Y):
- # 預測值為
- Y.append(a[-1] + b[-1] + s[-m])
- a.append(alpha * (Y[i] - s[i]) + (1- alpha) * (a[i] + b[i]))
- b.append(beta * (a[i + 1] - a[i]) + (1- beta) * b[i])
- s.append(gamma * (Y[i] - a[i] - b[i]) + (1- gamma) * s[i])
- y.append(a[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])
- # 計算rmse值
- rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2for m, n in zip(Y[:-fc], y[:-fc - 1])]) / len(Y[:-fc]))
- return y[-fc:], alpha, beta, gamma, rmse
另外，statsmodels包中也提供的實現的方法
- from statsmodels.tsa.holtwinters importExponentialSmoothing
3. Holt-Winters參數
從上面實現可知，holt-winters通過預估alpha，beta和gamma來預測。算法的關鍵就是這三個參數和初始化值。三個參數可以通過優化算法來預估，但有可能并不是最優的。初始值的設置除了上面統計值外，還可以通過時序的分解的趨勢和季節部分來初始。
- import numpy as np
- from pandas import read_csv
- import matplotlib.pyplot as plt
- from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
- decomposition = seasonal_decompose(df_clean.bw, model='additive', period=288)
- decomposition.plot()
Holt-Winters針對波形比較穩定，沒有突刺的情況下，效果會比較好。
對于存在突刺，統一的alpha，beta，gamma不能很好擬合，預測可能會滯后。
4. 總結
本文分享了時間序列預測算法Holt-Winters以及重要參數的選擇，希望對你有幫助。總結如下：
• Holt-Winters是三次指數平滑，分別為baseline，趨勢和季節性；
• alpha、beta和gamma分別為baseline，趨勢和季節性的指數加權參數，一般通過優化算法L-BFGS估計
• 初始化可通過平均值，也可通過時間序列分解得到
• 周期m或者k的選擇要根據實際數據來選擇
• Holt-Winters針對波形比較穩定，沒有突刺的情況下，效果會比較好
